Умови істинності або хибності складних суджень

Досі ми розглядали судження (та й інші логічні категорії) лише з точки зору формальної логіки предикатів. Подивимося тепер на складні судження з погляду логіки висловлювань, у якій розглядається істинність та хибність суджень.

Почнемо із з’єднувальних (кон’юнктивних) суджень. З’єднувальне судження істинне при істинності всіх кон’юнктів, що складають його, і хибне при хибності хоча б одного з них. Умови істинності суджень можна представляти у вигляді так званих таблиць істинності. Для з’єднувального судження таблиця істинності буде мати такий вигляд (таблиця 3.2):

Таблиця 3.2

Таблиця істинності для кон’юнкції

(У таких таблицях замість і (істинне) та х (хибне) іноді пишуть 1 та 0).

Саме така умова істинності кон’юнкцій випливає з того, що “ р і q ” можна замінити, наприклад, на “як р, так і q ”, тому для того, щоб усе судження було істинним, обидві його частини повинні бути істинним.

Для розуміння логіки висловлювань треба запам’ятати таке правило: усі висловлювання в ній або істинні, або хибні, третього не дано.

Наприклад, візьмемо таке висловлювання: “Через 5 років тут буде дощ з громом”. Воно здається нам невизначеним з точки зору істинності, але в логіці висловлювань невизначеності не буває.

Така сама справа й зі складними висловлювання. У звичайній мові ми пов’язуємо сполучником “і” два висловлювання, що, як нам здається, пов’язані якимось значенням. Але значення – поняття суб’єктивне, для когось воно є, а для когось – ні. Тому логіка висловлювань таке поняття, як “змістовні зв’язки”, відкидає. Наприклад, висловлювання “Він ішов у пальті, і я йшов до університету” нам здається безглуздим, тому воно не може бути істинним або хибним. Але з точки зору логіки висловлювань, якщо обидві його частини істинні, то воно істинне. Так само істинне й складне судження “2 – просте число й Київ – велике місто”. Але якщо ми скажемо “2 – непарне число й Київ – велике місто”, то все судження перетворюється на хибне.

Перейдемо тепер до умов істинності розділових (диз’юнктивних) суджень. Вони будуть різними для нестрогої та строгої диз’юнкції.

Нестрога диз’юнкція істинна, коли істинний хоча б один член диз’юнкції, і хибна при хибності обох її членів (таблиця 3.3).

Таблиця 3.3

Таблиця істинності для нестрогої диз’юнкції

Для строгої диз’юнкції умови істинності будуть іншими. Істинною строга диз’юнкція буде лише при істинності одного та хибності іншого члена. Як уже говорилося вище, у звичайній мові, щоб підкреслити, що диз’юнкція строга, застосовують сполучник “або” 2 рази: “або р, або q ”. Тоді зрозуміло, що коли і р, і q істинні, або якщо обидва хибні, то хибна й уся строга диз’юнкція. У вигляді таблиці істинності це зображується так (таблиця 3.4):

Таблиця 3.4

Таблиця істинності для строгої диз’юнкції

Умовні (імплікативні) судження істинні в усіх випадках, окрім одного: при істинності антецендента та хибності консеквента (таблиця 3.5, 2-й рядок):

Таблиця 3.5

Таблиця істинності для імплікації

Наприклад: “Якщо запобіжник плавиться, то телевізор не гасне”. Антецендент істинний, але висновок з нього робиться хибний, тому вся імплікація хибна.

У решті випадків імплікація буде істинною. У першому випадку це більш очевидно. З істинного антецендента (“Запобіжник плавиться”.) робиться істинний висновок (“Телевізор гасне”).

Але імпликація істинна й ще у двох випадках, хоча, на перший погляд, це може здатися дивним. Візьмемо перший випадок: антецендент хибний, консеквент істинний. У цьому випадку імплікація буде істинною, навіть якщо ми візьмемо такий приклад: “Якщо 2 х 2 = 5, то деякі слони живуть в Африці”. Ця імплікація є істинною тому, що деякі слони дійсно живуть в Африці, поза залежністю від будь-яких умов, істинних або хибних. Але якщо ми поміняємо антецендент і консеквент місцями: “Якщо деякі слони живуть в Африці, то 2 х 2=5”, ми отримуємо 2-й рядок таблиці істинності: імплікація хибна, тому що 2 х 2 ніколи не буде 5, поза залежністю від будь-яких умов, навіть істинних.

І, нарешті, останній рядок. Якщо і р, і q хибні, то імплікація буде істинною навіть у такому випадку: “Якщо 2 х 2 = 5, то я – папа римський”, оскільки істинність імплікації залежить не від змісту висловлювань, які входять до неї, а лише від їх взаємовідношень між собою. Тут імплікація буде істинною, оскільки хибність одного не ставить під сумнів хибність іншого.

Еквівалентні судження (подвійна імплікація) істинні в тих випадках, коли обидва судження приймають однакові значення, будучи одночасно або істинними, або хибними (таблиця 3.6, 1-й та 4-й рядки).

Таблиця 3.6

Таблиця істинності для еквіваленції

Це значить, що істинність р достатня для визнання q істинним, а істинність q достатня для визнання істинності р. Те саме буде й при їх хибності. Тому приклад з 2 х 2 = 5 і папою римським буде істинним висловлюванням і для подвійної імплікації. А ось у решті випадків подвійна імплікація буде хибною.

Окрім відношень кон’юнкції, диз’юнкції, імплікації та еквіваленції в логіці висловлювань застосовується також відношення заперечення. Повний зміст відношення заперечення задається умовою: якщо висловлювання р істинне, то його заперечення (не- р) хибне, і якщо р – хибне, то не- р – істинне. Відношення заперечення позначається Ø р. Для заперечення теж можна побудувати таблицю істинності (таблиця 3.7):

Таблиця 3.7

Таблиця істинності для заперечення

Знаючи та розуміючи таблиці істинності для елементарних складних висловлювань, можна будувати їх і для більш складних, що складаються з них, і таким чином, визначати умови істинності для будь-якого виразу. Наприклад, треба побудувати таблицю істинності для такого виразу: (Ø А Ú В) Ù (В Ú С). Будувати ми її будемо в такому порядку: спочатку задамо всі можливі комбінації істинності й хибності А, В і С. Потім розберемо, як розв’язується таблиця істинності на прикладі першого рядка (таблиця 3.8):

Таблиця 3.8

Перший рядок таблиці істинності для виразу (Ø А Ú В) Ù (В Ú С)

З чого починаємо спершу? З не- А. Якщо А істинне, то не- А – хибне. Далі переходимо до диз’юнкції у перших дужках, “не- А або В ”. Якщо хоча б одне з них істинне, то весь вираз істинний. У нашому першому рядку істинні обидва. Пишемо “і”. Аналогічно “ В або С ”, теж нестрога диз’юнкція й обидва істинні, значить, і вона істинна теж. І, нарешті, увесь вираз, кон’юнкція. Ліва частина істинна, права частина істинна, отже, уся кон’юнкція істинна. Інші 7 рядків рекомендую зробити самостійно для засвоєння побудування таблиць істинності.

Якщо при будь-яких варіантах істинності та хибності змінних у всіх рядках таблиці виходить “істинне”, то такий вираз називається тотожньо-істинним, якщо у всіх рядках виходить “хибне” – тотожньо-хибним, якщо зустрічаються обидва значення – нейтральним.