Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Задание 1. Доказать. Проиллюстрировать с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

, то

Решение:

Если , то

Пусть . Доказать, что если , то . Действительно, . Учитывая условие , заключаем, что

Задание 2. Найти предел последовательности.

Решение:

Задание 3. Найти предел функции:

Решение:

Задание 4. Найти производные функции:

Решение:

Задание 5. Найти данный предел, используя правило Лопиталя.

Решение.

Правило Лопиталя позволяет раскрывать неопределенность 0/0 и ∞ / ∞.

Для нашего примера:

Применим правило Лопиталя, которое гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Для нашего примера:

f(x) = x-1

g(x) = ln(x)

Находим производные

f'(x) = 1

g'(x) = 1/x

Задание 6. Найти наибольшее и наименьшее значение функции.

y = x-1/x^2+3 [-2;3]

Необходимое условие экстремума функции одной переменной.

Уравнение f'₀(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки x_с, в которых функция не возрастает и не убывает.

Достаточное условие экстремума функции одной переменной.

Пусть f₀(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие:

f'₀(x*) = 0

f''₀(x*) > 0

то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции.

Если в точке x* выполняется условие:

f'₀(x*) = 0

f''₀(x*) < 0

то точка x* - локальный (глобальный) максимум.