Решение типовых задач

а) Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся следующими свойствами неопределенного интеграла:

1. постоянной множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

2. Неопределенный интеграл от суммы (разности) функций равен сумме (разности) интегралов от каждой функции в отдельности, то есть

Преобразуем подынтегральную функцию в интеграле а) и воспользуемся формулой из таблицы основных неопределенных интегралов:

=

б) Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой . Тогда ,откуда .Таким образом,

в) Найти интеграл

Решение:

Воспользуемся подстановкой

Тогда . Таким образом,

7. В задачах 1-20 вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Сделать чертеж и заштриховать искомую площадь.

Решение типовой задачи

Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

и прямой .

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной сверху непрерывной кривой у=f(х), снизу непрерывной кривой , слева прямой х=а, справа прямой х=b, вычисляется по формуле:

(1)

Если кривые у=f(х) и образуют замкнутую линию, то точки а и b совпадают с абсциссами точек пересечения этих кривых. Найдем точки пересечения заданных параболы и прямой. Для этого решим систему их уравнений:

Приравняв значения у из обоих уравнений, получим:

Отсюда .Таким образом, парабола пересекается с прямой в точках А(-6;0) и В(0;12).

Искомая фигура изображена на рисунке.

Из формулы (1) следует, что площадь фигуры равна

=

Следовательно, искомая площадь равна 12 кв. ед.

8. Требуется составить дифференциальное уравнение динамики развития некоторого биологического вида и найти решение этого уравнения. Состояние популяции (в простейшем понимании - стада) можно охарактеризовать массой m этой популяции (то есть весом всего стада), причем масса m является функцией времени m=m(t), Считая, что скорoсть прироста биомассы пропорциональна биомассе популяции с коэффициентом k=k(t) и что известна начальная биомасса m (при t=0), найти величину биомассы в момент t=T.

1. m = 12; T=2; k(t)= .

2. m =18; T=18; k(t)= .

3. m =9; T=8; k(t)= .

4. m =12; T=2; k(t)= .

5. m =14; T=3; k(t)= .

6. m =10; T=2; k(t)= .

7. m =1; T=12; k(t)= .

8. m =5; T=4; k(t)= .

9. m =18; T=2; k(t)= .

10. m =8; T=2; k(t)= .

11. m = 2; T=2; k(t)= .

12. m =8; T=18; k(t)= .

13. m =19; T=8; k(t)= .

14. m =22; T=2; k(t)= .

15. m =24; T=3; k(t)= .

16. m =4; T=2; k(t)= .

17. m =7; T=12; k(t)= .

18. m =15; T=4; k(t)= .

19. m =8; T=2; k(t)= .

20. m =18; T=2; k(t)= .