Строительство

Методические указания к выполнению контрольной работы № 1

Для направлений бакалавриата:

Строительство

Профиль:

Промышленное и гражданское строительство

Уфа 2012

00УДК 51(07)

ББК 22.1я73,22.161.6

М 54

Рекомендовано к изданию методической комиссией механического факультета (протокол № 9 от 27 июля 2012 года) и заседанием кафедры математики (протокол № 7 от 10 апреля 2012 года)

Составители: доцент Авзалова З.Т.,

ассистент Чистякова С.В.

Рецензент: доцент кафедры физики Белобородова Н.Н.

Ответственный за выпуск: зав. кафедрой математики доцент Лукманов Р.Л.

Порядок выполнения контрольных работ

К выполнению контрольной работы следует приступать после изучения соответствующего теоретического материала по учебнику и лекциям, а также решения задач на практических занятиях.

При выполнении контрольных работ студент должен, руко­водствоваться следующими указаниями:

каждую работу следует выполнять в отдельной тетради, на передней обложке которой должны быть указаны фамилия и инициалы студента, шифр, номер контрольной работы и дата ее отсылки в институт;

решения всех задач и пояснения к ним должны быть доста­точно подробными, рекомендуется делать соответствующие ссыл­ки на вопросы теории с указанием формул, теорем, выводов, ко­торые используются при решении;

все вычисления должны быть приведены полностью, чертежи и графики должны быть выполнены аккуратно, четко, с указанием единиц масштаба, координатных осей, обозначения в задачах должны соответство­вать указаниям на чертеже;

для удобства рецензирования преподавателем контрольной работы следует оставлять на каждой странице поля;

после получения отрецензированной работы сту­дент должен исправить в ней все ошибки. В случае незачета студент обязан в кратчайший срок выполнить все требования рецензента и представить работу на повторное рецензирование. Неверно выполненные задачи или вся работа заново решаются в той же тетради, исправление небольших недочетов и ошибок приводится в конце работы. До экзамена необходимо исправить все ошибки и получить зачет. Работы, выполненные небрежно, несамостоятельно, или содержащие задачи не своего варианта, возвращаются без проверки.

В период экзаменационной сессии, на зачете студент обязан представить зачтенную контрольную работу и по требованию преподавателя дать устные пояснения ко всем задачам, содержащимся в работе.

Студент выполняет тот вариант контрольной работы, который соответствует двум последним цифрам i и j его учебного шифра и определяется по схеме данной преподавателем.

Литература.

1. Шипачев В.С. Основы высшей математики. Учебное пособие./ Под редакцией А.Н. Тихонова. -2-е издание, стереотип.- М.: Высш. шк., 1994.-479с.

2. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. Учебное пособие.-2-е издание, испр.-М.: Высш. шк., 2000.-304с.

3. Зайцев И.А. Высшая математика. Учеб. для с/х вузов. 2-е издание, испр.и доп.-М.: Высш. шк., 1998.-409 с.

1 Решить заданную систему уравнений методом Крамера

1) , 2) 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15) ,

16) , 17) , 18) ,

19) , 20) .

Решение типовой задачи

Решим систему уравнений с помощью формул Крамера.

Для этого вычислим главный определитель системы , который составляется из коэффициентов при неизвестных и вычислим его по правилу «треугольников»:

Так как =-20 0, делаем вывод о том, что система имеет единственное решение. Для его отыскания вычислим вспомогательные определители , которые получаются из главного путем замены столбца коэффициентов при соответствующей неизвестной на столбец свободных членов.

Тогда неизвестные x, y, z по формулам Крамера находятся следующим образом:

х= , у= ; z= .

Сделаем проверку, подставив найденные значения неизвестных в исходную систему:

,

Т.к. все три уравнения обращаются в верные равенства, то решение найдено правильно.

Ответ: (0;-1;-2)

2. В задачах 1-20 даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется: 1) длину стороны АВ; 2) уравнение сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А в радианах; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину. Сделать чертеж.

Решение типовой задачи

Даны вершины треугольника АВС А(-2;5); В(10;-4); С(8;10). Требуется найти: 1) длину стороны АВ; 2) уравнения сторон АВ и АС в общем виде и их угловые коэффициенты; 3) угол А; 4) уравнение медианы АD; 5) уравнение высоты СЕ и ее длину.

1)Расстояние между двумя точками А (х ; );В (х у определяется по формуле d= (1),

воспользовавшись которой находим длину стороны АВ: d= = = =15.

2)Уравнение прямой, проходящей через заданные точки А(х ;у ) и В(х ;у ) имеет вид: . (2)

Подставляя в (2) координаты А и В получим уравнение прямой (АВ):

4у-20=-3х-6; 3х+4у-14=0- общее уравнение прямой (АВ).

Угловой коэффициент прямой АВ найдем, преобразовав полученное уравнение к виду уравнения прямой с угловым коэффициентом у=kx+b.

4у= -3х+14, , т.е.

Подставляя в (2) координаты А и С получим уравнение прямой (АС):

х+2=2у-10,

х-2у+12=0- общее уравнение прямой (АС),

3) Требуется найти угол А между прямыми (АВ) и (АС), подставим угловые коэффициенты и в формулу:

(3),

, следовательно, А=arctg2 .

4)AD- медиана, поэтому точка D делит отрезок ВС пополам. Для вычисления координат середины отрезка воспользуемся следующими формулами:

(4),

в которые подставим координаты точек В и С:

; у = то есть D(9;3).

Подставив в формулу (2) координаты точек А и D получим уравнение прямой (AD)- медианы:

(AD): 11у-55=-2х-4;

(AD): 2х+11у-51=0.

5) Высота СЕ перпендикулярна стороне АВ. Известно, что если две прямые взаимно перпендикулярны, то их угловые коэффициенты связаны соотношением: k , то есть k .

Для составления уравнения высоты CD воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом k, которое имеет вид: (5).

Подставив в (5) координаты точки С и угловой коэффициент k получаем

(CE): у-10= 3у-30=4х-32; 4х-3у=2.

Чтобы найти длину (СЕ), определим координаты точки Е- точки пересечения высоты (СЕ) и прямой (АВ). Для этого решаем совместно систему уравнений (АВ) и (СЕ):

. Умножим первое уравнение на 4, а второе на- 3, получим , сложив эти два уравнения, получим 25y=50, т.е. y=2. Найдём x, подставив y=2 в первое из исходных уравнений: 3x+8-14=0, откуда x=2.

Следовательно, Е(2;2). Длина высоты СЕ определяется по формуле (1):

d= = = =10.

3 Найти указанные пределы:

1. : а) х , б) х 1, в) х .

2. : а) х , б) х , в) х .

3. : а) х , б) х , в) х .

4. : а) х , б) х , в) х .

5. : а) х , б) х , в) х .

6. : а) х , б) х , в) х .

7. : а) х , б) х , в) х .

8. : а) х , б) х , в) х .

9. : а) х , б) х , в) х .

10. : а) х , б) х , в) х .

11. : а) х , б) х , в) х .

12. : а) х , б) х , в) х .

13. : а) х , б) х , в) х .

14. : а) х , б) х , в) х .

15. : а) х , б) х , в) х .

16. : а) х , б) х , в) х .

17. : а) х , б) х , в) х .

18. : а) х , б) х , в) х .

19. : а) х , б) х , в) х .

20. : а) х , б) х , в) х .

Решение типовых примеров

1) ;

2) .

При подстановке вместо переменной x её предельного значения 3, получается неопределенность вида . Для избавления от этого вида неопределенности представим квадратные трехчлены числителя и знаменателя в виде произведения линейных множителей, воспользовавшись известной формулой,где и -корни квадратного трехчлена

У нас т.к. дискриминант квадратного трехчлена D=9-4 =81, а следовательно,

По аналогии .

Теперь условие задачи можно переписать в другом виде и продолжить решение

3) .

Мы получили неопределенность вида , избавиться от которой можно делением числителя и знаменателя дроби на старшую степень переменной, т.е. на .

.

4 Найти производные заданных функций

1. а) у= ; б) у=cos ln8x;

2. а)у= ; б) у=ln arcsin3x;

3. а) у= б) у=arctg ln5x;

4. а) у= б) у=ln cos4x;

5. а) у= б) у=cos ln7x;

6. а) у= б) у= ln sin7x;

7. а) у= б) у=arctg ln5x;

8. а) у= б) у=ln arcsin2x;

9. а) у= б) у=sin ln7x;

10. а) у= б) у=tg ln7x;

11. а) у= б) у=ln cos6x;

12. а) у= б) у=ln arctg2x;

13. а) у= б) у=cos ln(5x+1);

14. а) у= б) у=arccos ln4x;

15. а) у= б) у=arctg ln5x;

16. а) у= ; б) у=ln sin(6x+1);

17. а) у= ; б) у=sin ln(1-2x);

18. а) у= ; б) у=ln arccos5x;

19. а) у= ; б) у=arcsin ln(2x-1);

20. а) у= ; б) у=ln arccos7x.

При решении всех последующих задач кроме таблиц производных будут использованы известные правила дифференцирования суммы, разности, произведения, дроби и теорема о производной сложной функции.

1. ,

2. ,

3. .

4. Если задана сложная функция y=f(u), где u=z(x), т.е. y=f(z(x)) и каждая из функций y и u дифференцируема по своему аргументу, то .

Решение типового примера

а) у= .

Если в знаменателе дроби стоит степень какого-либо числа, то эту дробь можно представить как отрицательную степень числа, например , так же , и т.д. Подкоренное выражение можно записать в виде степени, показателем которой является дробь: , и т.д. Поэтому

,

y = = = = = .

б) у=ln arcsin6x

y = (ln arcsin6x) = =

= .

5 Исследовать данную функцию (т.е. найти точки экстремума и перегиба, интервалы возрастания, убывания, выпуклости и вогнутости графика функции) и построить ее графики.

1. y=

2. y=

3. y=

4. y=

5. y=

6. y=

7.y=

8. y=

9. y=

10.y=

11. y=

12. y=

13. y=

14. y=

15. y=

16. y=

17. y=

18. y=

19. y=

20. y=

Решение типовой задачи

Исследовать на экстремум функцию и определить интервалы ее возрастания и убывания, найти точки перегиба графика этой функции и определить интервалы выпуклости и вогнутости графика. Построить график.

Решение.

Чтобы найти точки экстремума, вычисляем производную и приравниваем ее к нулю, решаем полученное уравнение:

Корни уравнения - критические точки. Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: .

Производную можно представить так: .

Из последнего равенства видно, что в первом интервале , во втором и в третьем интервале . Следовательно, в первом и третьем интервалах функция возрастает, а во втором убывает. Так как в критической точке производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум. А в силу того, что в точке производная меняет знак с минуса на плюс, функция имеет минимум в этой точке. Вычислим значение функции в этих точках: .

Точка B(6;-8)- точка минимума.

Точка A(-2;13 )- точка максимума.

Чтобы найти точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости, находим вторую производную, приравниваем ее нулю и решаем полученное уравнение.

x-2=0; x=2 – критическая точка второго рода. Эта точка разбивает числовую ось на два интервала: Как видно, в первом случае , во втором - Следовательно, в первом интервале график функции – выпуклый, во втором – вогнутый. Так как производная при переходе через точку х=2 меняет свой знак, то х=2 есть абсцисса точки перегиба графика. Вычисляем ординату этой точки:

;

Таким образом, точка – точка перегиба графика функции.

По результатам исследования строим график.

6 В задачах 1-20 требуется найти указанные неопределенные интегралы:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.