Упражнение 6. Установите, какие из следующих формул являются тождественно-истинными, какие — тождественно-ложными и какие — выполнимыми

Установите, какие из следующих формул являются тождественно-истинными, какие — тождественно-ложными и какие — выполнимыми.

1 .р É р.

2. Ø (р Ù q É р).

3. (р É q Ù r) É (p Ú r É q).

4. р Ù (q Ú r) º (р Ù q) Ú (р Ú r).

5. ((р ÉØ q) ÉØ р).

Логика высказываний, построенная табличным способом, дает эффективную процедуру для выявления законов логики, а также метод проверки правильности рассуждении. Рассуждение считается правильным, если между его посылками и заключением имеет место отношение логического следования. Определяем последнее: из посылок Г следует заключение В, если импликация, имеющая антецедентом конъюнкцию формул, соответствующих посылкам, а консеквентом — формулу, соответствующую заключению, является тождественно-истинной.

Пусть дано рассуждение: “Если Иванов является участником этого преступления, то он знал потерпевшего. Иванов не знал потерпевшего, но знал его жену. Потерпевший знал Иванова. Следовательно, Иванов является участником этого преступления”. Для определения правильности рассуждения требуется:

во-первых, обозначить различными символами различные простые высказывания, входящие в рассуждение. В приведенном рассуждении встречаются следующие простые высказывания: “Иванов является участником этого преступления”, “Иванов знал потерпевшего”, “Иванов знал жену потерпевшего”. “Потерпевший знал Иванова”. Обозначим их соответственно символами p,q, r, s;

во-вторых, перевести на язык логики высказываний посылки и заключение. Переводом посылок являются формулы р É q, Ø q Ù r, s, а переводом заключения — формула р (союз “но” соответствует в данном случае союзу “и”);

в-третьих, формулы, являющиеся переводом посылок, последовательно соединить знаком конъюнкции. Получаем формулу:

((p É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s;

в-четвертых, к полученной формуле присоединить справа знаком импликации формулу, являющуюся переводом заключения. Получаем формулу:

((р É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s É р;

в-пятых, для полученной формулы построить таблицу истинности.

Если формула, являющаяся переводом рассуждения на язык символов, оказывается тождественно-истинной, то можно сделать вывод о том, что рассуждение правильное, если тождественно-ложной, то рассуждение неправильное. Может оказаться, что формула является выполнимой, но не тождественно-истинной. В том случае нет оснований считать рассуждение правильным. Необходимо продолжить анализ рассуждения, но уже средствами более богатого раздела логики — средствами логики предикатов.

Вернемся к рассматриваемому рассуждению. Построим таблицу истинности для формулы, являющейся переводом этого рассуждения на язык символов:

((р É q) Ù (Ø q Ù r)) Ù s É р

и и и л л и л и л и и и

и и и л л и л и л л и и

и и и л л и л л л и и и

и и и л л и л л л л и и

и л л л и л и и л и и и

и л л л и л и и л л и и

и л л л и л л л л и и и

и л л л и л л л л л и и

л и и л л и л и л и и л

л и и л л и л и л л и л

л и и л л и л л л и и л

л и и л л и л л л л и л

л и л и и л и и и и л л

л и л и и л и и л л и л

л и л л и л л л л и и л

л и л л и л л л л л и л.

Формула является выполнимой, но не общезначимой. Следовательно, нет оснований считать рассматриваемое рассуждение правильным.

Если формула содержит много переменных, то в некоторых случаях можно не строить таблицу, а путем особых “ сокращающих ” рассуждений установить, является ли она общезначимой, противоречивой или же выполнимой, но не общезначимой.

Рассмотрим проанализированную выше формулу. Предположим, что при некотором наборе значений переменных она принимает значение “ л ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

Это возможно, если значение консеквента — “ л ”, а антецедента — “ и ”, а следовательно, каждого члена конъюнкции — “ и ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

и и и л л

Поскольку переменной р уже приписано значение “ л ”, пишем “ л ” под первым вхождением р в формулу:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

л и и и л л

Подформула Ø q Ù r имеет значение “ и ”, если, и только если, Ø q и r имеют значение “ и ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

л и и и и и л л

Поскольку подформула Ø q имеет значение “ и ”, под q пишем “ л ”:

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

л и и л и и и л л

Тогда

((p É q) Ù ( Ø q Ù r)) Ù s É p

л и л и и л и и и и л л

Формула принимает значения “ л ” при значениях “ л ”, “ л ”, “ и ”, “ и ” соответственно переменных р, q, r и s.

Очевидно, что при значении “ и ” переменной эта формула принимает значение “ и ”. Формула принимает как значение “ л ”, так и значение “ и ”, а следовательно, является выполнимой, но не общезначимой.

Рассмотрим формулу:

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r

Чтобы доказать, что формула является общезначимой, будем рассуждать от противного. Предположим, что она не общезначима, т.е. при некотором наборе значений переменных принимает значение “ л ”. Это возможно, если ее антецедент, а следовательно, каждый член конъюнкции принимает значение “ и ”:

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r

и и и и и л л

((p É q) Ù (q É r)) Ù p É r

и и и и л и л и и л л

Приходим к противоречию, так как в этом случае, чтобы антецедент импликации оставался истинным, первому вхождению переменной q следует приписать значение “ и ”, а второму — “ л ”. Следовательно, формула является общезначимой.