Пусть поверхность замкнута

В этом случае заряд может находиться либо внутри поверхности , либо вне ее.

· Пусть заряд находится внутри замкнутой поверхности .

Эта поверхность окружает его со всех сторон и видна из них под углом , тогда

· Если же заряд находится в точке , лежащей вне поверхности , то из точки можно провести касательные к , образующие конус, соприкасающийся с по замкнутой кривой , которая разделит на две части и .

Обе эти поверхности видны из точки под одним и тем же углом, причем

· одна поверхность - с внутренней стороны,

· а другая - с внешней.

То есть углы и , соответствующие этим поверхностям будут иметь разные знаки, при этом .

Тогда и потоки и иметь разные знаки, поэтому

-- поток вектора через всякую замкнутую поверхность, не охватывающую заряд , равен нулю:

Этот результат справедлив для любой систему электрических зарядов.

Действительно, пусть поле образовано системой зарядов .

Согласно принципу суперпозиции, напряженность результирующего поля

Поток результирующего вектора равен ,

где , и

Эта формула выражает собой теорему Гаусса:

В произвольном электростатическом поле в вакууме поток вектора напряженности через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, расположенных внутри этой поверхности, деленной на электрическую постоянную .

· Если сумма , то - линии напряженности выходят из поверхности,

· если , - линии напряженности входят в поверхность.

Из теоремы Гаусса следует:

1. Линии напряженности могут начинаться только в местах положительных зарядов, а заканчиваться только в местах отрицательных зарядов.

2. Если мы возьмем замкнутую поверхность, охватывающую заряды, алгебраическая сумма которых равна нулю, то полный поток вектора напряженности через поверхность равен нулю. Это означает, что число линий, выходящих из объема, ограниченного данной поверхностью, равно числу линий, входящих в объем.

3. Если замкнутая поверхность проведена в поле так, что внутри нее нет зарядов, то линии напряженности будут ее пронизывать, не начинаясь, и не кончаясь внутри нее. Следовательно, число входящих линий равно числу выходящих линий, и полный поток напряженности через поверхность также равен нулю.